☝ Exponentielle et dérivée - Remarque

Par définition, la fonction \(f \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)  définie par \(f(x)=\text e^{kx}\) est l'unique fonction telle que \(f'=kf\) et \(f(0)=1\) .

Posons, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) , \(g(x)=\cos(x)+i\sin(x)\) .

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) , on a \(g(x) \in \mathbb{C}\) , \(g(0)=\cos(0)+i\sin(0)=1\) et, en admettant que les règles de calculs usuelles de la dérivation s'étendent de \(\mathbb{R}\) à \(\mathbb{C}\) ,
\(g'(x)=-\sin(x)+i\cos(x)=i\left[\cos(x)+i\sin(x)\right]=ig(x)\) .

L'écriture \(g(x)=\text e^{ix}\) est donc motivée par la définition de l'exponentielle réelle : on « étend »  la fonction exponentielle de \(\mathbb{R}\) à \(\mathbb{C}\) .